Question

F1=100 кН,F2=150 кН знайти F

Answer 1

Для ступенчатого бруса (рисунок 6) необходимо:

1. Определить продольные силы в поперечных сечениях и построить эпюру.

2. Определить нормальные напряжения в поперечных сечениях и построить их эпюру.

3. Определить опасное сечение и указать, выдержит ли брус на прочность, если расчетное напряжение на сжатие и растяжение .

4. Определить нормальные и касательные напряжения в наклонной площадке, расположенной под углом в опасном сечении.

5. Определить перемещения сечений и построить эпюру.

Данные для расчета: F1 = 100 кН, F2 = 50 кН, F3 = 150 кН, А1 = 6 см2, А2 = 7,2 см2, А3 = 8,4 см2, l1 = 1 м, l2 = 0,6 м, l3 = 0,5 м, l4 = 0,4 м, l5 = 0,7 м, Е = 2105 МПа.

Решение

Ступенчатый брус необходимо разбить на отдельные участки. Отсчет участков производится от свободного конца для того, чтобы не определять реакцию в заделке. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы или меняется площадь. Первый участок будет между точками В и С, так как в точке С меняется площадь поперечного сечения. Брус от точки С до точки Е имеет постоянное сечение, но в точке D приложена сила F2 , поэтому от точки С до D будет второй участок, а от D до Е – третий. В точке Е меняется площадь сечения бруса, а в точке М приложена сила F3, поэтому четвертый участок – от точки Е до М, пятый – от М до Р. При определении внутренних усилий пользуются методом сечений. Продольная сила N равна сумме внешних сил, действующих на правую от рассматриваемого сечения часть бруса. Силы, растягивающие брус, являются положительными, а сжимающие – отрицательными.

Рассмотрим сечение 1-1. На правую часть бруса действует только одна сила F1, являющаяся растягивающей. Следовательно, продольная сила N1 будет положительной.

N1 = F1= 100 кH.

Рассмотрим сечение 2-2. На правую часть бруса действует только одна сила F1:

N2 = F1 = 100 кH.

Рисунок 6 − Схема бруса и эпюры внутренних усилий

Сечение 3-3. На правую часть действуют силы F1 и F2, причем сила F2 является сжимающей, следовательно, должна браться со знаком «минус»:

N3 = F1 – F2= 100 – 50 = 50 кН.

Сечение 4-4. Действуют те же силы F1 и F2:

N4 = F1 – F2 = 50 кН.

Сечение 5-5. На правую часть действуют три силы F1, F2, F3, причем сила F3 – сжимающая:

N5 = F1 – F2 – F3= 100 – 50 – 150 = –100 кН.

Определив значения внутренних усилий на каждом участке, строим эпюру продольных сил N. Положительные значения откладываем сверху, отрицательные – снизу. Поскольку на участках продольная сила имеет постоянное значение, эпюра N будет представлять собой линии, параллельные оси бруса.

Проверим правильность построения эпюры. В точках приложения внешних сил эпюра N должна делать скачок на величину этих сил. В точке D приложена сила F2 и на эпюре продольной силы N имеется скачок на величину 50 кН, в точке М соответственно на 150 кН. Нормальные напряжения в поперечном сечении находят по формуле

 = ;

на первом участке:

 I = = 138,9106 Па =138,9 МПа;

на втором участке:

 II = = 119,1106 Па =119,1 МПа;

на третьем участке:

 III = = 59,5106 Па =59,5 МПа;

на четвертом участке:

 IV = = 83,3106 Па =83,3 МПа;

на пятом участке:

V = = – 166,7106 Па = –166,7 МПа.

Строим эпюру нормальных напряжений. Положительные значения откладываем сверху, отрицательные – снизу от оси. Так как напряжение на участке постоянно, эпюра изображается горизонтальными линиями.

Поскольку допускаемое напряжение одинаково на растяжение и сжатие, на эпюре следует найти максимальное значение напряжения без учета знака. Опасное сечение будет на пятом участке, где max = 166,7 МПа.

Условие прочности имеет вид:

max ≤ [].

В данном случае действующее на пятом участке напряжение превосходит допускаемое max = 166,7 МПа  [] = 160 МПа. Но превышение до 5% считается несущественным, и полагают, что прочность в таком случае обеспечена. Определим процент превышения:

Условие прочности обеспечено.

Нормальные напряжения в наклонной площадке определяют по формуле:

=cos2 = –166,7cos260o = –41,7 МПа.

касательные:

=1/2sin2 = 1/2 (–166,7)sin120° =–72,2 МПа.

Величины деформаций каждого участка определяют по формуле:

l = .

первого участка:

l1=

второго участка:

l2=

третьего участка:

l3=

четвертого участка:

l4=

пятого участка:

l5=

Знак «минус» указывает на то, что пятый участок сожмется.

Строим эпюру перемещений. В сечении Р перемещения отсутствуют.

Сечение М сместится относительно Р на величину деформации V участка.

м = l5 = –0,58 мм.

Сечение Е относительно М сместится на величину l4.

Е = М + l4 = –0,58 мм + 0,17 мм = –0,41 мм.

Сечение D сместится относительно Е на l3.

Д = Е + l3 = –0,41 мм = –0,416 + 0,143 = –0,26 мм.

Сечение С сместится относительно D на l2.

С = Д + l2 = –0,26 + 0,36 = 0,1 мм.