Question

Даю 50 баллов. Нужно вычислить.

Answer 1

В знаменателе суммируются члены, знаменатель которых, в свою очередь, является суммой арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и шагом прогрессии 1. Найдём эту сумму:

$S_n = frac{2a_1+d(n-1)}{2} n = frac{2*1+1*(n-1)}{2} n = frac{n(n-1)}{2}$

Значит, каждый член в знаменателе можно представить так:

$c_n = frac{2}{n(n+1)}$, где n = 1, 2, 3, ...

Пробуем вычислять сумму первых членов
n=1;  $c_1 = frac{2}{1*(1+1)} =1$;  $S_1 = c_1 = 1 = frac{2}{2}$

n=2;  $c_2 = frac{2}{2*(2+1)} = frac{1}{3}$
$S_2 = c_1 + c_2 = 1 + frac{1}{3} = frac{4}{3}$

n=3;  $c_3 = frac{2}{3*(3+1)} = frac{1}{6}$
$S_3 = c_1 + c_2 + c_3 = 1 + frac{1}{3} + frac{1}{6} = frac{6}{4}$

n=4;  $c_4 = frac{2}{4*(4+1)} = frac{1}{10}$
$S_4 = c_1 + c_2 + c_3+ c_4 = 1 + frac{1}{3} + frac{1}{6}+ frac{1}{10} = frac{8}{5}$

Продолжая таким образом, замечаем, что
$S_n = frac{2n}{n+1}$

Докажем этот факт методом математической индукции. Первый шаг у нас уже сделан, проверка на первых членах прошла. Предполагаем, что формула верна для n. Докажем, что формула верна для (n+1).
(n+1)-й член имеет вид
$c_{n+1}= frac{2}{(n+1)(n+2)}$
Прибавим его к предполагаемой сумме:
$S_{n+1}=S_n+c_{n+1} = frac{2n}{n+1} + frac{2}{(n+1)(n+2)} = \ \ = frac{2}{n+1}( n+ frac{1}{n+2} ) = frac{2}{n+1}( frac{n^2+2n+1}{n+2} ) =frac{2}{n+1}frac{(n+1)^2}{n+2} = frac{2(n+1)}{n+2}$

Последнее выражение и есть сумма (n+1) членов, если в формулу:
$S_n = frac{2n}{n+1}$
вместо n подставить (n+1).

Итак, находим сумму 2013 членов:
$S_{2013} = frac{2*2013}{2013+1}= frac{2*2013}{2014}$

Наконец, вычисляем всё выражение
$frac{2*2013}{ frac{2*2013}{2014} } =2014$

Всё.