Question

комплексные числа
z^4=-1
1) решите найдите и запишите все корни в алгебраической форме
2) изобразите их на комплексной плоскости

Answer 1

$z= sqrt[4]{-1}$

Рассмотрим $a=-1+0i$. Модуль комплексного числа: $|a|= sqrt{(-1)^2+0^2}=1$, тогда

$a=-1+0i=cos pi +isin pi$

И согласно формуле Муавра:

$sqrt[4]{-1}=cos frac{pi+2 pi k}{4} +isin frac{pi+2 pi k}{4}$, где k=0,...,3

$z_1= cos frac{pi}{4} +isinfrac{pi}{4} = frac{1}{ sqrt{2} } +icdot frac{1}{ sqrt{2} } \ \ z_2=cosfrac{3pi}{4} +isinfrac{3pi}{4} =-frac{1}{ sqrt{2} } +icdot frac{1}{ sqrt{2} }\ \ z_3=cosfrac{5pi}{4} +isinfrac{5pi}{4} =-frac{1}{ sqrt{2} } -icdot frac{1}{ sqrt{2} }\ \ z_4=cosfrac{7pi}{4} +isinfrac{7pi}{4} =frac{1}{ sqrt{2} } -icdot frac{1}{ sqrt{2} }$

2) Смотрим на фото