Question

Помогите, пожалуйста, решить неравенство. Подробно.

Answer 1

учтем, что:
$(x+2)^2 neq 0 Rightarrow x neq -2 \(x-3)^2 neq 0Rightarrow x neq 3$
умножим обе части на (x+2)^2(x-3)^2 (так как данное выражение положительно и не равно 0 по одз) и свернем числители по формулам квадрат суммы и квадрат разности:
$(x-3)^2(x-1)^2+(x+2)^2(x+1)^2 leq frac{1}{2} *(2x^2-x+5)^2 \(x^2-x-3x+3)^2+(x^2+x+2x+2)^2 leq frac{1}{2} *(2x^2-x+5)^2$
воспользуемся формулой квадрат трехчлена:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
получим:
$(x^2-4x+3)^2+(x^2+3x+2)^2 leq frac{1}{2}*(2x^2-x+5)^2 \(x^2-4x+3)^2=x^4+16x^2+9-8x^3+6x^2-24x=x^4-8x^3+22x^2\-24x+9 \(x^2+3x+2)^2=x^4+9x^2+4+6x^3+4x^2+12x=x^4+6x^3+13x^2\+12x+4 \2x^4-2x^3+35x^2-12x+13 leq frac{1}{2}*(2x^2-x+5)^2 \4x^4-4x^3+70x^2-24x+26 leq (2x^2-x+5)^2 \(2x^2-x+5)^2=4x^4+x^2+25-4x^3+20x^2-10x=4x^4-4x^3+21x^2\-10x+25 \4x^4-4x^3+70x^2-24x+26 leq 4x^4-4x^3+21x^2-10x+25 \70x^2-24x+26 leq 21x^2-10x+25 \70x^2-21x^2-24x+10x+26-25 leq 0$
$49x^2-14x+1 leq 0 \(7x)^2-2*1*7x+1^2 leq 0 \(7x-1)^2 leq 0$
выражение (7x-1)^2 всегда больше или равно 0, поэтому:
$left { {{(7x-1)^2 leq 0} atop {(7x-1)^2 geq 0}} right. Rightarrow x in { frac{1}{7} }$
решением неравенства является единственное значение x: x=1/7
Ответ: $x in { frac{1}{7} }$