Question

Помогите, решить. Подробно.

Answer 1

$log_{(x-3)^2}(3x^2+7x+1)geq0$

 

ОДЗ:

$left{begin{array}{l} 3x^2+7x+1 textgreater 0 \ (x-3)^2 textgreater 0 \ (x-3)^2 neq 1end{array}$

$left{begin{array}{l} 3x^2+7x+1 textgreater 0 \ x-3 neq 0 \ x-3 neq 1 \ x-3 neq -1end{array}$

Решаем первое неравенство:

$3x^2+7x+1 textgreater 0 \ 3x^2+7x+1=0 \ D=7^2-4cdot3cdot1=37 \ x_{12}= dfrac{-7pm sqrt{37} }{6} \ Rightarrow xinleft(-infty; dfrac{-7-sqrt{37} }{6} right)cupleft(dfrac{-7+sqrt{37} }{6} ;+inftyright)$

Объединяем ОДЗ в одну систему:

$left{begin{array}{l} xinleft(-infty; dfrac{-7-sqrt{37} }{6} right)cupleft(dfrac{-7+sqrt{37} }{6} ;+inftyright) \ x neq 2;3;4end{array}$

 

Решаем исходное неравенство. Преобразуем исходный логарифм:

$dfrac{ln(3x^2+7x+1)}{ln(x-3)^2} geq 0$

Вычтем из числителя и знаменателя по нулю:

$dfrac{ln(3x^2+7x+1)-0}{ln(x-3)^2-0} geq 0$

И представим эти нули в виде логарифмов:

$dfrac{ln(3x^2+7x+1)-ln1}{ln(x-3)^2-ln1} geq 0$

Учитывая возрастание функции $y=ln x$ на всей области определения, можно перейти к неравенству:

$dfrac{(3x^2+7x+1)-1}{(x-3)^2-1} geq 0$

$dfrac{3x^2+7x}{x^2-6x+8} geq 0$

$dfrac{3x(x+ frac{7}{3}) }{(x-2)(x-4)} geq 0$

Неравенство решаем методом интервалов (картинка):

$xin(-infty; frac{7}{3} ]cup[0;2)cup(4;+infty)$

 

Отчетливо видно, что второе ОДЗ выполняется: числа 2, 3, 4 в решение не попали. Проверить первое условие можно с помощью приближенных вычисления или более точными методами.

Оценим значение выражения $dfrac{-7-sqrt{37} }{6}$

$sqrt{36} textless sqrt{37} textless sqrt{49} \ 6 textless sqrt{37} textless 7 \ -7 textless -sqrt{37} textless -6 \ -14 textless -7-sqrt{37} textless -13 \ -dfrac{14}{6} textless dfrac{-7-sqrt{37}}{6} textless - dfrac{13}{6} \ -dfrac{7}{3} textless dfrac{-7-sqrt{37}}{6} textless - dfrac{13}{6}$

То есть число $dfrac{-7-sqrt{37}}{6}$ расположено правее числа $- dfrac{7}{3}$. Рассуждая аналогично, можно понять, что число $dfrac{-7+sqrt{37}}{6}$ расположено левее нуля. Таким образом, наложение ОДЗ (картинка) никоим образом не меняет множество найденных решений.

 

Ответ: $xin(-infty; frac{7}{3} ]cup[0;2)cup(4;+infty)$