Question

Вычислить значения частных производных f’x (M0), f’y (M0), f’z (M0) для данной функции f (x,y,z) в точке M0 (x0,y0,z0) с точностью до двух знаков после запятой.

Answer 1

3.9. Используем табличную производную арксинуса:
$(arcsinx)' = frac{1}{ sqrt{1-x^2} }$
Используем производную сложной функции:
$f'(g(x)) = f'(g)* g'(x)$
Когда берём частную производную по х, другие переменные (y и z) считаем константами. По остальным переменным аналогично.
В конце подставляем значения переменных в точке М0.

$f(x,y,z) = arcsin( frac{x^2}{y} -z); M_0(2,5,0) \ \ frac{df}{dx} = frac{( frac{x^2}{y} -z)_x^'}{ sqrt{1-(frac{x^2}{y} -z)^2} } = frac{ frac{2x}{y}}{ sqrt{1-(frac{x^2}{y} -z)^2} } = frac{ 2x}{y sqrt{1-(frac{x^2}{y} -z)^2} } = \ \ = frac{ 2*2}{ 5sqrt{1-(frac{2^2}{5} -0)^2} } } = frac{4}{5* sqrt{1- frac{16}{25} } } = frac{4}{3 }$

$frac{df}{dy} = frac{( frac{x^2}{y} -z)_y^'}{ sqrt{1-(frac{x^2}{y} -z)^2} } = frac{ -frac{x^2}{y^2}}{ sqrt{1-(frac{x^2}{y} -z)^2} } =- frac{ x^2}{y^2 sqrt{1-(frac{x^2}{y} -z)^2} } = \ \ = frac{ 2^2}{ 5^2 sqrt{1-(frac{2^2}{5} -0)^2} } } = frac{4}{5* sqrt{1- frac{16}{25} } } =- frac{4}{15 }$

$frac{df}{dz} = frac{( frac{x^2}{y} -z)_z^'}{ sqrt{1-(frac{x^2}{y} -z)^2} } = frac{ -1}{ sqrt{1-(frac{x^2}{y} -z)^2} } = \ \ = -frac{ 1}{ sqrt{1-(frac{2^2}{5} -0)^2} } } = -frac{1}{ sqrt{1- frac{16}{25} } } =- frac{5}{3 }$

Answer 2

Спасибо большое за помощь, желаю вам успехов!!!