Question

Если двухзначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 7. Если затем взять сумму квадратов цифр этого числа и вычесть из нее произведение тех же цифр, то получится первоначальное число. Найти это число.

Answer 1

Пусть ху - первоначальное двухзначное число, которое имеет представление собой в разряды десятков и единиц, т.е. 10х+у.

Сумма цифр двухзначного числа - $bigg(x+ybigg)$

Произведение цифр этого числа - $xy$

Если двухзначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 7, то есть, уравнение будет таким

$dfrac{10x+y}{x+y}=3+ dfrac{7}{x+y}$ или после упрощений: $7x-2y=7$

"Если затем взять сумму квадратов цифр этого числа и вычесть из нее произведение тех же цифр, то получится первоначальное число." То есть, будет такое следующее уравнение

$displaystyle x^2+y^2-xy=10x+y$

Решив систему уравнений $displaystyle left { {{7x-2y=7} atop {x^2+y^2-xy=10x+y}} right. ~~Rightarrow~~~ left { {{x= dfrac{2y+7}{7} ~~~~~~~~~~~~~~~~} atop {x^2+y^2-xy=10x+y}} right.$

находим $13y^2-70y-147=0$ $,~~y_1=7$ и $y_2=- dfrac{21}{13}$, что не подходит условию.

$x_1=3$

И так, получаем первоначальное число: xy=37