Question

Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 50. Выясни, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшем.

Ответ:
Разность прогрессии: d= ...

В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):
1. a1= ... - ... d;
2. f(d)= ... + ... d+ ... d2

Answer 1

Из условии $3a_2+a_4=50$. Воспользовавшись формулой n-го члена арифметической прогрессии, имеем

$3bigg(a_1+dbigg)+a_1+3d=50;\ \ 3a_1+3d+a_1+3d=50\ \ 4a_1+6d=50;\ \ 2a_1+3d=25$

Оттуда с последнего равенства выразим a1: $a_1= dfrac{25-3d}{2}$

$a_3cdot a_5=bigg(a_1+2dbigg)bigg(a_1+4dbigg)~~~~~~-min~~~?$

Рассмотрим функцию $f(d)=bigg(dfrac{25-3d}{2} +2dbigg)bigg(dfrac{25-3d}{2} +4dbigg)= \ \ \ =dfrac{1}{4} bigg(25-3d+4dbigg)bigg(25-3d+8dbigg)= dfrac{1}{4} bigg(d+25bigg)bigg(5d+25bigg)=\ \ \ = dfrac{1}{4} bigg(5d^2+150d+625bigg)= dfrac{5d^2}{4} + dfrac{75d}{2} + dfrac{625}{4}$

Производная функции:

      $f'(d)=bigg(dfrac{5d^2}{4} + dfrac{75d}{2} + dfrac{625}{4} bigg)'= dfrac{5d}{2} + dfrac{75}{2} \ \ f'(d)=0;~~~~dfrac{5d}{2} + dfrac{75}{2} =0\ \ \ d=-15$

___-____(-15)____+_____>
Производная функции в точке d=-15 меняет знак с (-) на (+), следовательно, точка d=-15 - точка минимума

ОТВЕТ: d=-15.

В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):
1. a1= an - (n-1)d; 
2. f(d)= 156,25 + 37.5 d+ 1.25 d2