Предмет: Алгебра,
автор: GreenApelsin
Дифференциальное уравнение
y''-y'=x+1
Ответы
Автор ответа:
0
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
![y''-y'=0 y''-y'=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-y%27%3D0)
Осуществив замену
, получим характеристическое уравнение
![k^2-k=0,~~~ k (k-1)=0,~~~~ k_1=0;~~~~ k_2=1 k^2-k=0,~~~ k (k-1)=0,~~~~ k_1=0;~~~~ k_2=1](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2-k%3D0%2C%7E%7E%7E+k+%28k-1%29%3D0%2C%7E%7E%7E%7E+k_1%3D0%3B%7E%7E%7E%7E+k_2%3D1)
уо.о. =
- общее решение однородного уравнения
Рассмотрим![f(x)=x+1 f(x)=x+1](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3Dx%2B1)
![P_n(x)=x+1~~~Rightarrow~~~ n=1;~~~~ alpha =0 P_n(x)=x+1~~~Rightarrow~~~ n=1;~~~~ alpha =0](https://tex.z-dn.net/?f=P_n%28x%29%3Dx%2B1%7E%7E%7ERightarrow%7E%7E%7E+n%3D1%3B%7E%7E%7E%7E+alpha+%3D0)
Сравнивая
с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимания что n=1, частное решение будем искать в виде:
yч.н. = x*(Ax+B) = Ax² + Bx
Найдем первые две производные
y' = 2Ax+B
y'' = 2A
И подставим это в исходное уравнение
![2A-2Ax-B=x+1 2A-2Ax-B=x+1](https://tex.z-dn.net/?f=2A-2Ax-B%3Dx%2B1)
Приравниваем коэффициенты при степени х
![displaystyle left { {{-2A=1} atop {2A-B=1}} right. ~~Rightarrow~~~~ left { {{A=-0.5} atop {B=-2}} right. displaystyle left { {{-2A=1} atop {2A-B=1}} right. ~~Rightarrow~~~~ left { {{A=-0.5} atop {B=-2}} right.](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++left+%7B+%7B%7B-2A%3D1%7D+atop+%7B2A-B%3D1%7D%7D+right.+%7E%7ERightarrow%7E%7E%7E%7E+left+%7B+%7B%7BA%3D-0.5%7D+atop+%7BB%3D-2%7D%7D+right.+)
Частное решение: уч.н. =![-0.5x^2-2x -0.5x^2-2x](https://tex.z-dn.net/?f=-0.5x%5E2-2x)
Общее решение соответствующего неоднородного уравнения
уо.н. = уо.о. + уч.н. =
Осуществив замену
уо.о. =
Рассмотрим
Сравнивая
yч.н. = x*(Ax+B) = Ax² + Bx
Найдем первые две производные
y' = 2Ax+B
y'' = 2A
И подставим это в исходное уравнение
Приравниваем коэффициенты при степени х
Частное решение: уч.н. =
Общее решение соответствующего неоднородного уравнения
уо.н. = уо.о. + уч.н. =
Похожие вопросы
Предмет: Английский язык,
автор: stolarovaksenia01
Предмет: Математика,
автор: znanija260606
Предмет: Биология,
автор: tatianchenkotanya
Предмет: Математика,
автор: ДанилКонстантинов1