Question

Доказать, что для a ∈ R верно (a²+a+2)/√(a²+a+1) ≥ 2

Answer 1

Переносим все в левую часть неравенства и работаем над упрощением выражения в левой части

$displaystyle frac{a^2+a+2}{ sqrt{a^2+a+1} } geq 0~Leftrightarrow~ frac{bigg(a^2+a+1bigg)- 2sqrt{a^2+a+1}+1 }{ sqrt{a^2+a+1} } geq 0,\ \ \dfrac{bigg( sqrt{a^2+a+1}-1bigg)^2 }{ sqrt{a^2+a+1} } geq 0$

Неравенство истинно, т.к. $bigg( sqrt{a^2+a+1}-1bigg)^2 geq 0$ и $sqrt{a^2+a+1} textgreater 0$ при $a in R$

Что и нужно было доказать.