Question

(1+tgx + tg²x + ... + tgⁿx+...)/(1-tgx+tg²x-...+(-1)ⁿtgⁿx+...)=1+sin2x, |tgx|<1

Answer 1

По формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = b1/(1-q), где b1=1, имеем, что

$displaystyle frac{ dfrac{1}{1-tgx} }{ dfrac{1}{1+tgx} } =1+sin2x;~~~~~~~ frac{1+tgx}{1-tgx}=1+sin2x\ \ \ frac{cos x+sin x}{cos x-sin x} =1+sin2x;~~~ frac{cos x+sin x}{cos x-sin x} -(cos x+sin x)^2=0\ \ (cos x+sin x)cdot bigg( frac{1}{cos x-sin x} -(cos x+sin x),bigg)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$cos x+sin x=0|:cos xne0\ tgx=-1$
Отсюда видно, что не подходит условию.

$displaystyle frac{1}{cos x-sin x} -(cos x+sin x)=0$
Умножив последнее уравнение на $cos x-sin xne 0$, находим $cos 2x=1,$
$2x=2 pi n,~~x=pi n,n in mathbb{Z}$

ОТВЕТ: $pi n,n in mathbb{Z}$