Question

В круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник со стороной x.Является ли его площадь S функцией от x? Если да то найдите область определения этой функции и её значение x=R; Rкорень из 2

Answer 1

Пусть α - угол при вершине треугольника, a В - боковая сторона.

Тогда по теореме синусов  Х / sin α = 2 * R , откуда  α = arcsin (X/(2*R)).

Тогда  В = Х / (2 * sin α/2)  и по формуле площади

S = B² * sin α / 2 = (Х / (2 * sin α/2))² * sin α / 2 = X² * sin α / (8 * sin²α/2) =

X² * 2 * sin α/2 * cos α/2 /(8 * sin²α/2) = X² * ctg α/2 / 4 =

X² * ctg (arcsin (X/(2*R))/2) / 4

При  Х = R  arcsin (X/(2*R)) = arcsin 1/2 = π/6 , поэтому

 S = R² * ctg (π/12) / 4

При  Х = R * √2  arcsin (X/(2*R)) = arcsin 1/√2 = π/4 , поэтому

 S = R² * ctg (π/8) / 2