Question

Методом матиматических индукции докажите что для всех научных чисел 7^n-6×2^n на 5

Answer 1

Базис индукции. Подставим n=1, имеем 5 кратно 5 - истинно

Предположим, что и при n=k выражение $bigg(7^k-6cdot 2^kbigg)$ кратно 5.

Индукционный переход: n=k+1

$7^{k+1}-6cdot2^{k+1}=7cdot7^k-12cdot 2^k=7^k-6cdot 2^k+6cdot7^k-6cdot 2^k=\ \ \ =bigg(7^k-6cdot 2^kbigg)+6bigg(7^k-6cdot2^kbigg)+30cdot 2^k$

Слагаемые $bigg(7^k-6cdot 2^kbigg)$ и $6bigg(7^k-6cdot 2^kbigg)$ кратно 5 по второму пункту предположения и $30cdot 2^k$ тоже кратно 5, очевидно.

Следовательно, исходное выражение кратно 5 для всех натуральных n