Question

Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.
$sqrt{x^{4}+(a-5)^{4}} = |x + a - 5| + |x - a + 5|$

Answer 1

1)
Нули функций 
$f(x)=|x+(a-5)|+|x-(a-5)|\ x_{1}=a-5\ x_{2}=5-a$ 
Значит функция
на отрезке 
$(-infty ; 5-a) \ y=-2x$ 
на отрезке 
$y=[5-a,a-5] y=2|a-5|$ 
на отрезке   
$(a-5,+infty)\ y=2x$

2)
Найдем при каких значениях не имеет решения уравнения 
$sqrt{x^4+(a-5)^4}=2x\ x^4-4x^2+(a-5)^4=0\ D=16-4(a-5)^4 textless 0\ a in ( -infty; 5 - sqrt{2}) cap (5+sqrt{2}; +infty)$ 
Для $y=-2x$  аналогично. 

3) 
График функций  $y=sqrt{x^4+(a-5)^4}$ - парабола , минимум которой, находиться в точке $B(0,(a-5)^2)$. 
 
4)
Значит для того чтобы, уравнение имело одно решение , нужно чтобы Ломанная $y=|x-(a-5)|+|x+(a-5)|$ а именно ее $y=2|a-5|$ часть была равна $B$  то есть 
$2|a-5|=(a-5)^2 \ a geq 5\ 2a-10=a^2-10a+25 \ a^2-12a+35=0 \ (a-5)(a-7)=0\ a=5, a=7\\ a textless 5\ 10-2a=a^2-10a+25 \ a^2-8a+15=0 \ (a-3)(a-5)=0\ a=3, a=5$
 
Но $a=5$ не подходит так как он не входит в отрезок описанный в пункте 2.  

5) Ответ  $a=3,a=7$
 

Answer 2

А с каких это пор график функции корень из чего-то там - парабола (шаг 3)?

Answer 3

кек

Answer 4

А, понял. У нас корень из икс в парной степени!