Question

Сума кубів цифр двоцифрового числа дорівнює 243, а добуток суми його цифр на добуток цифр цього числа дорівнює 162. Знайдіть це двоцифрове число.

Answer 1

Пусть xy - искомое двухзначное число. Сумма кубов цифр этого числа равна $bigg(x^3+y^3bigg)$, что составляет 243.

Произведение сумы его цифр на произведение цифр этого числа равен : $bigg(x+ybigg)cdot xy$, что составляет 162.

Составим систему уравнений

$displaystyle left { {{x^3+y^3=243} atop {xybigg(x+ybigg)=162}} right. ~~Rightarrow~~ left { {{bigg(x+ybigg)bigg(x^2-xy+y^2bigg)=243} atop {bigg(x+ybigg)= dfrac{162}{xy}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }} right. \ \ \ left { {{2x^2-2xy+2y^2=3xy} atop {xybigg(x+ybigg)=162~~~~~~}} right.$

Упростим немного с первым уравнением

$2x^2-2xy+2y^2=3xy,~~~~~ 2x^2-5xy+2y^2=0\ \ bigg(2x^2-4xybigg)-bigg(xy-2y^2bigg)=0\ \ 2xbigg(x-2ybigg)-ybigg(x-2ybigg)=0\ \ bigg(x-2ybigg)bigg(2x-ybigg)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в нуль

$x-2y=0$ откуда x=2y и подставим во второе уравнение вместо переменной х.

$2ycdoy ybigg(2y+ybigg)=162\ \ 3y^3=81\ \ y^3=27;~~~Rightarrow~~~ y_1=3;~~~~ x_1=6$

Аналогино $2x-y=0$ откуда $y=2x$ находим $2xcdot xbigg(2x+xbigg)=162$

$3x^3=81;~~~~ x_2=3,~~~~~ y_2=6$

Ответ: 63 или 36