Question

Две стороны треугольника равны 10 и 11 м, угол между ними равен 60º. Найти третью сторону и площадь треугольника

Answer 1

Третья сторона по теореме косинусов
$x= sqrt{10^2+11^2-2cdot11cdot10cdot cos60^{circ}}= \ = sqrt{100+121-220cdot dfrac{1}{2} }= \ = sqrt{111}$

Площадь по формуле Герона
$p= dfrac{10+11+ sqrt{111} }{2}= dfrac{21+ sqrt{111} }{2} \ S= \ = sqrt{ dfrac{21+ sqrt{111} }{2}( dfrac{21+ sqrt{111} }{2}-10)( dfrac{21+ sqrt{111} }{2}-11)( dfrac{21+ sqrt{111} }{2}- sqrt{111} } \ =sqrt{ dfrac{21+ sqrt{111} }{2}( dfrac{1+ sqrt{111} }{2})( dfrac{-1+ sqrt{111} }{2})( dfrac{21- sqrt{111} }{2}) }= \ = sqrt{ dfrac{(21+ sqrt{111})(1+ sqrt{111})(-1+ sqrt{111})(21- sqrt{111} )}{16} }= \ = sqrt{ dfrac{330cdot110}{16} }= dfrac{55 sqrt{3} }{2}$

Answer 2

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними
$S = frac{1}{2} *10 * 11 * Sin60 ^{o} = 55 * frac{ sqrt{3} }{2} =27,5 sqrt{3}$
По теореме косинусов : квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Пусть длина третьей стороны равна x , тогда
x² = 10² + 11² - 2 * 10 * 11 * Cos60° = 100 + 121 - 2 * 110 * 1/2 = 221 - 110 =
 = 111
 x = √111