Question

Помогите,пожалуйста,с высшей математикой.

Answer 1

Найти предел
$lim_{x to infty}xcdot( frac{pi}{4}-arctg( frac{x}{x+1}) )$

Решение
$lim_{x to infty}xcdot( frac{pi}{4}-arctg( frac{x}{x+1}) )=[0cdot infty]$

Данную неопределенность необходимо привести к виду 0/0 и применить правило Лопиталя

$lim_{x to infty}xcdot( frac{pi}{4}-arctg( frac{x}{x+1}) )=lim_{x to infty} frac{ frac{pi}{4}-arctg( frac{x}{x+1})}{ frac{1}{x} }=$

$=lim_{x to infty} frac{( frac{pi}{4}-arctg( frac{x}{x+1}))'}{( frac{1}{x})' }=lim_{x to infty} frac{ - frac{1}{1+( frac{x}{1+x} )^2}cdot( frac{x}{x+1})'}{-frac{1}{x^2} }=$

$=lim_{x to infty} frac{ frac{1}{1+ frac{x^2}{(1+x)^2}}cdot frac{x'(x+1)-x(x+1)'}{(x+1)^2}}{frac{1}{x^2} }=lim_{x to infty} frac{ frac{1}{1+ frac{x^2}{(1+x)^2}}cdot frac{x+1-x}{(x+1)^2}}{frac{1}{x^2} }=$

$=lim_{x to infty} frac{ frac{1}{1+ frac{x^2}{(1+x)^2}}cdot frac{1}{(x+1)^2}}{frac{1}{x^2} }=lim_{x to infty} frac{ frac{1}{(x+1)^2+ x^2}}{frac{1}{x^2} }=lim_{x to infty} frac{x^2}{2x^2+2x+1}=$

$=lim_{x to infty} frac{x^2}{x^2(2+ frac{1}{x}+ frac{1}{x^2}) }= lim_{x to infty} frac{1}{2+ frac{1}{x}+ frac{1}{x^2} }= frac{1}{2} =0,5$

Поэтому 
$lim_{x to infty}xcdot( frac{pi}{4}-arctg( frac{x}{x+1}) )=0,5$
Ответ 0,5