Question

Предел функции, помогите пожалуйста, с решением
1) lim x ( стремится к 0) (x)/((√x+1)-1)
2)lim x (стремится к 0) ((√x+4)-2)/(x)
3)lim x (стремится к 0) (x²)/((√x²+1)-1)

Answer 1

Неопределённость 0/0 раскрывается по правилу Лопиталя или умножением числителя и знаменателя на сопряжённое выражение.

1)
$lim_{x to inft0} frac{x}{sqrt{x+1}-1} = lim_{x to inft0} frac{x*(sqrt{x+1}+1)}{(sqrt{x+1}-1)*(sqrt{x+1}+1)} = \ \ = lim_{x to inft0} frac{x*(sqrt{x+1}+1)}{x+1-1} =lim_{x to inft0} (sqrt{x+1}+1)= sqrt{0+1} +1= 2$

или (по Лопиталю)

$lim_{x to inft0} frac{x}{sqrt{x+1}-1} = lim_{x to inft0} frac{x'}{(sqrt{x+1}-1)'} =lim_{x to inft0} frac{1}{ frac{1}{2} (x+1)^{- frac{1}{2} }} = \ \ = lim_{x to inft0} 2 (x+1)^{ frac{1}{2}} =lim_{x to inft0} 2 sqrt{x+1} =2 sqrt{0+1} =2$

2)
$lim_{x to inft0} frac{sqrt{x+4}-2}{x} = lim_{x to inft0} frac{(sqrt{x+4}-2)*(sqrt{x+4}+2)}{x*(sqrt{x+4}+2)} = \ \ =lim_{x to inft0} frac{x+4-4}{x*(sqrt{x+4}+2)} =lim_{x to inft0} frac{1}{sqrt{x+4}+2} = frac{1}{ sqrt{0+4} +2} = frac{1}{4}$

или (по Лопиталю)

$lim_{x to inft0} frac{sqrt{x+4}-2}{x} =lim_{x to inft0} frac{(sqrt{x+4}-2)'}{x'} = lim_{x to inft0} frac{1}{2} (x+4)^{- frac{1}{2} } = \ \ =lim_{x to inft0} frac{1}{2 sqrt{x+4} }= frac{1}{2* sqrt{0+4} } = frac{1}{4}$

3)
$lim_{x to inft0} frac{x}{sqrt{x+1}-1} =lim_{x to inft0} frac{x*(sqrt{x+1}+1)}{(sqrt{x+1}-1)*(sqrt{x+1}+1)} = \ \ =lim_{x to inft0} frac{x*(sqrt{x+1}+1)}{x+1-1} = lim_{x to inft0} (sqrt{x+1}+1) = (sqrt{0+1}+1) = 2$

или (по Лопиталю)
$lim_{x to inft0} frac{x}{sqrt{x+1}-1} =lim_{x to inft0} frac{x'}{(sqrt{x+1}-1)'} = lim_{x to inft0} frac{1}{ frac{1}{2} (x+1)^{- frac{1}{2}}}= \ \ =lim_{x to inft0} 2 (x+1)^{ frac{1}{2}} =lim_{x to inft0} 2 sqrt{x+1} = 2 sqrt{0+1} =2$