Question

Найдите площадь треугольника одна сторона которого равна 6 см, а прилежащие к ней углы 45 градусов, 60 градусов.

Answer 1

ΔABC: <A=45°, <C=60°, AB=6 см
найти: S
решение.
1. <A+<B+<C=180°
45°+<B+60°=180°,  =>   <B=75°
2. теорема синусов:
$frac{BC}{sin textless A}= frac{AC}{sin textless B}= frac{AB}{sin textless C}$
$frac{AB}{sin 60^{0} } = frac{6}{sin75 ^{0} }$
sin75°=sin(45°+30°)=sin45° *cos30°+cos45° *sin30°=
$= frac{ sqrt{2} }{2}* frac{ sqrt{3} }{2}+ frac{1}{2}* frac{ sqrt{2} }{2} = frac{ sqrt{2} }{2} * frac{ sqrt{3}+1 }{2}$
$AB= frac{AC*sin textless C}{sin textless B}$
$AB=( 6* frac{ sqrt{3} }{2}): (frac{ sqrt{2} }{2}* frac{ sqrt{3}+1 }{2} )= frac{12* sqrt{3} }{ sqrt{2}*( sqrt{3}+1 ) } = frac{12* sqrt{3}* sqrt{2} }{ sqrt{2}* sqrt{2}*( sqrt{3}+1 ) } = frac{3 sqrt{6} }{ sqrt{3}+1 }$
$S= frac{1}{2}*AB*AC*sin textless A$
$S= frac{1}{2}* frac{3 sqrt{6} }{ sqrt{3}+1 } *6* frac{ sqrt{2} }{2} = frac{9 sqrt{18} }{2*( sqrt{3}+1 )} = frac{27 sqrt{2} }{2( sqrt{3}+1 )}$