Question

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка y'-y/(1-x2)=1+x
Помогите плз решить

Answer 1

y' - y/(1 - x^2) = 1 + x

Решаем однородное уравнение.
y' - y/(1 - x^2) = 0
y'/y = 1/(1 - x^2)
(ln y)' = 1/2 * (1/(1 + x) + 1/(1 - x))
ln y = 1/2 * (ln(1 + x) - ln(1 - x)) + ln C
y = C * sqrt((1 + x)/(1 - x))

C = C(x), подставляем в исходное уравнение.

C'(x) * sqrt((1 + x)/(1 - x)) = 1 + x
C'(x) = sqrt(1 - x^2)

Нужно вычислить интеграл от правой части. Интегрируем по частям:
$displaystyleintsqrt{1-x^2},dx=xsqrt{1-x^2}+intdfrac{x^2, dx}{sqrt{1-x^2}}=xsqrt{1-x^2}-\-intfrac{(1-x^2-1),dx}{sqrt{1-x^2}}=xsqrt{1-x^2}-intsqrt{1-x^2},dx+intfrac{dx}{sqrt{1-x^2}}\ 2intsqrt{1-x^2},dx=2C+xsqrt{1-x^2}+arcsin x\ intsqrt{1-x^2},dx=C+dfrac{xsqrt{1-x^2}}2+dfrac{arcsin x}2$

$y(x)=left(C+dfrac{xsqrt{1-x^2}}2+dfrac{arcsin x}2right)sqrt{dfrac{1+x}{1-x}}$