Question

Прямая $y=kx+4$ удалена от начала координат на расстояние $d= sqrt{3}$. Найти значение $k$.

Answer 1

Прямая АО ⊥ прямой y = kx + 4, значит угловой коэффициент прямой AO
равен $- frac{1}{k}$.
Уравнения всех прямых перпендикулярных данной имеют вид
$y = - frac{1}{k} x+b$
Найдём b , для этого подставим координаты начала координат то есть точки О( 0 ; 0)
$0 = - frac{1}{k} *0 + b$
Получаем b = 0
Найдём координаты точки А - точки пересечения прямых y = kx + 4 и
$y = - frac{1}{k} x$
$- frac{1}{k} x=kx+4\\- frac{1}{k}x - kx = 4 \\x(- frac{1}{k}-k)=4\\x=- frac{4k}{ k^{2}+1 } \\y = frac{4}{ k^{2}+1 }$
$A(- frac{4k}{ k^{2}+1 } ; frac{4}{ k^{2}+1 })$
$AO ^{2}=(0-(- frac{4k}{ k^{2}+1 })) ^{2} +(0- (frac{4}{ k^{2}+1 } )) ^{2}= frac{16}{ k^{2} +1}$
$|AO|= frac{4}{ sqrt{ k^{2}+1 } }\\ frac{4}{ sqrt{ k^{2} +1} } = sqrt{3} \\ frac{16}{ k^{2}+1 }=3\\ k^{2} +1= frac{16}{3} }\\ k^{2}= frac{13}{3}$
$k =- sqrt{ frac{13}{3} } \k= sqrt{ frac{13}{3} }$