Предмет: Математика,
автор: 12345рон
Внутри угла ABC, меньшего 135 градусов, взяты точки M и N так, что углы ABM= MBN=NBС, AM перпендикулярен BM и ANперпендикулярен BN. Прямая MN пересекает луч BC в точкеK. Найдите BN, если BM=24,;BK=3
Ответы
Автор ответа:
0
На середине отрезке АВ возьмём точку О и проведём окружность радиусом АО=ОВ. Тогда наша окружность пройдёт через точки М и N, т.к. по условию углы ∠AMB = ∠ANB = 90°.
Лучи BM и BN делят угол ABC на три равные части меньше 45°. Отсюда, равны углы ∠ABN = ∠MBC, т.к. содержат в себе по две равные доли угла АВС.
Углы ∠BAN и ∠BMN опираются на одну и ту же дугу ∪BN, следовательно, эти углы равны: ∠BAN = ∠BMN. Значит, треугольники ΔBAN и ΔBMK подобны по двум углам, и угол ∠BKM = 90°, как ∠ANB.
Найдём МК по теореме Пифагора:
![MK = sqrt{BM^2-BK^2} = sqrt{24^2-3^2} = sqrt{567} =9 sqrt{7} MK = sqrt{BM^2-BK^2} = sqrt{24^2-3^2} = sqrt{567} =9 sqrt{7}](https://tex.z-dn.net/?f=MK+%3D++sqrt%7BBM%5E2-BK%5E2%7D+%3D++sqrt%7B24%5E2-3%5E2%7D+%3D++sqrt%7B567%7D+%3D9+sqrt%7B7%7D+)
Рассмотрим треугольник ΔMBK. Биссектриса треугольника BN делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
![frac{MN}{NK} = frac{BM}{BK} = frac{24}{3} =8 frac{MN}{NK} = frac{BM}{BK} = frac{24}{3} =8](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7BMN%7D%7BNK%7D+%3D+frac%7BBM%7D%7BBK%7D+%3D+frac%7B24%7D%7B3%7D+%3D8)
С другой стороны, ранее мы нашли, что
.
Составляем систему уравнений и решаем:
![left { {{MN + NK = 9 sqrt{7}} atop {frac{MN}{NK} =8}} right. \ \ MN=8NK \ \ 8NK+NK=9 sqrt{7} \ \ NK= sqrt{7} left { {{MN + NK = 9 sqrt{7}} atop {frac{MN}{NK} =8}} right. \ \ MN=8NK \ \ 8NK+NK=9 sqrt{7} \ \ NK= sqrt{7}](https://tex.z-dn.net/?f=+left+%7B+%7B%7BMN+%2B+NK+%3D++9+sqrt%7B7%7D%7D+atop+%7Bfrac%7BMN%7D%7BNK%7D+%3D8%7D%7D+right.++%5C++%5C+MN%3D8NK+%5C++%5C+8NK%2BNK%3D9+sqrt%7B7%7D++%5C++%5C+NK%3D+sqrt%7B7%7D+)
По теореме Пифагора находим BN:
![BN= sqrt{NK^2+BK^2} = sqrt{( sqrt{7})^2+3^2 } = sqrt{7+9} =4 BN= sqrt{NK^2+BK^2} = sqrt{( sqrt{7})^2+3^2 } = sqrt{7+9} =4](https://tex.z-dn.net/?f=BN%3D+sqrt%7BNK%5E2%2BBK%5E2%7D+%3D+sqrt%7B%28+sqrt%7B7%7D%29%5E2%2B3%5E2+%7D+%3D+sqrt%7B7%2B9%7D+%3D4)
Ответ: 4
Лучи BM и BN делят угол ABC на три равные части меньше 45°. Отсюда, равны углы ∠ABN = ∠MBC, т.к. содержат в себе по две равные доли угла АВС.
Углы ∠BAN и ∠BMN опираются на одну и ту же дугу ∪BN, следовательно, эти углы равны: ∠BAN = ∠BMN. Значит, треугольники ΔBAN и ΔBMK подобны по двум углам, и угол ∠BKM = 90°, как ∠ANB.
Найдём МК по теореме Пифагора:
Рассмотрим треугольник ΔMBK. Биссектриса треугольника BN делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
С другой стороны, ранее мы нашли, что
Составляем систему уравнений и решаем:
По теореме Пифагора находим BN:
Ответ: 4
Похожие вопросы
Предмет: История,
автор: Аноним
Предмет: Математика,
автор: maksimvagapov666
Предмет: Українська мова,
автор: nikitambrpubgmobile
Предмет: Математика,
автор: Бонсай
Предмет: Физика,
автор: misha10949