Question

Две трубы, работая вместе наполняют бак за 12 минут. Если сначала первая труба наполнит первую половину бака, а затем вторая труба вторую половину бака, то бак наполнится за 25 минут. За какое время наполнится бак каждой трубой по отдельности?

Answer 1

Пусть x - производительность первой трубы, y - производительность второй трубы, 1 - объём работы. Зная, что вместе они наполняют бак за 12 мин, а по половине, работая отдельно, 25 минут, получим систему уравнений:
1/(x + y) = 1/5                                                               ОДЗ:
1/2x + 1/2y = 5/12                                                   x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ -y

x + y = 5
0,5/x + 0,5/y = 5/12

y = 5 - x
0,5/x + 0,5/(5 - x) = 5/12

Умножим второе уравнение на x(5 - x):
y = 5 - x
0,5(5 - x) + 0,5x = 5x(5 - x)/12

Умножим второе уравнение на 12
y = 5 - x
6(5 - x) + 6x = 5x(5 - x)

y = 5 - x
30 - 6x + 6x = -5x² + 25x

y = 5 - x
-5x² + 25x - 30 = 0

y = 5 - x
x² - 5x + 6 = 0

Решим второе уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
x₁ + x₂ = 5
x₁x₂ = 6

x₁  = 2
x₂ = 3

x = 2
y = 5 - 2 = 3
или
x = 3
y =5 - 3 = 2

Время t равно t = 1/x и 1/y (работая:производительность)
t₁ = 1/2 ч = 30 мин
t₂ = 1/3 ч = 20 мин

Ответ: за 20 мин; 30 мин.