Question

Найти область сходимости степенного ряда.
Помогите по-братски!

Answer 1

Найдем радиус сходимости по признаку Даламбера

$displaystyle R= lim_{n to infty} frac{a_n}{a_{n+1}} =lim_{n to infty} frac{2^{n+1}cdot (n+1)}{ncdot 2^n}=2lim_{n to infty} frac{n+1}{n}=2cdot1=2$
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R). Значит ряд является сходящимся при всех x, принадлежащих интервалу (-2;2).

Исследуем теперь сходимость ряда на концах этого интервала.
Положим $x=pm2$ тогда получим сумму ряда $displaystyle sum^{infty}_{n=1} frac{2^n}{n}$ и по признаку Даламбера этот ряд расходится, значит х=±2 является точкой расходимости.

Ответ: степенной ряд является сходящимся при x ∈ (-2;2)