Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.
у= 5-x^2 ; y=x-1

Answer 1

Даны функции у = 5 - x² ; y = x - 1.
Находим точки их пересечения для определения границ заданной фигуры.
 5 - x² = x - 1.
Получаем квадратное уравнение.
х² + х - 6 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√25-1)/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2;x_2=(-√25-1)/(2*1)=(-5-1)/2=-6/2=-3.
Теперь находим площадь фигуры как интеграл разности (парабола выше прямой на заданном промежутке).
$S= intlimits^2_{-3} {(5-x^2-x+1)} , dx = intlimits^2_{-3} {-x^2-x+6} , dx =- frac{x^3}{3} - frac{x^2}{2}+6x|_{-3}^2.$
Подставив пределы переменной, получаем S = 125/6 ≈ 20,8333 кв.ед.