Question

найти точку пересечения прямой x−1/ 3 = y+3/ 4 = z+5 /−2 и плоскостью 2x − 6y + 4z − 3 = 0.

Answer 1

Введём параметр $lambda$ в канонической уравнении прямой:
    $displaystyle frac{x-1}{3}= frac{y+3}{4}= frac{z+5}{-2}$ , где $overline{q}{3;4;-2}$ - направляющий вектор.

и тогда можно записать уравнение прямой в параметрической форме:
$displaystyle begin{cases} & text{ } x=3lambda+1 \ & text{ } y=4lambda-3 \ & text{ } z=-2lambda-5 end{cases}$

И подставим эти переменные в заданное уравнение плоскости, получим уравнение относительно $lambda.$
$2(3lambda+1)-6(4lambda-3)+4(-2lambda-5)-3=0\ 6lambda+2-24lambda+18-8lambda-20-3=0\ -26lambda=3\ \ lambda=- dfrac{3}{26}$

Окончательно имеем точку пересечения прямой и плоскостью 
$displaystyle displaystyle begin{cases} & text{ } x=3cdot(- frac{3}{26}) +1 \ & text{ } y=4cdot(-frac{3}{26})-3 \ & text{ } z=-2cdot(-frac{3}{26})-5 end{cases}~~~Rightarrowdisplaystyle begin{cases} & text{ } x=frac{17}{26} \ & text{ } y=-frac{45}{13} \ & text{ } z=-frac{62}{13}end{cases}$

ОТВЕТ:   $bigg(dfrac{17}{26};-dfrac{45}{13};-dfrac{62}{13}bigg)_.$