Question

Найдите наименьшей положительный корень уравнения
2sin3⁡x+2017sin5⁡x=2cos3⁡2x+2017cos5⁡2x.
Представьте x в виде x=abπ, где ab — несократимая дробь с натуральными числителем и знаменателем. В ответе запишите b (знаменатель получившейся дроби).

Answer 1

$2sin^3(x)+2017sin^5(x)=2cos^3(2x)+2017cos^5(2x)$
$2sin^3(x)-2cos^3(2x)+2017sin^5(x)-2017cos^5(2x)=0$
$2[sin^3(x)-cos^3(2x)]+2017[sin^5(x)-cos^5(2x)]=0$

$(sin(x)-cos(2x))*[2(sin^2(x)+sin(x)*cos(2x)+cos^2(2x))+ \ +2017(sin^4(x)+sin^3(x)cos(x)+sin^2(x)cos^2(x)+ sin(x)cos^3(x)+\ +cos^5(2x))]=0$

1) sin x - cos 2x = 0
cos (pi/2 - x) - cos 2x = 0
Применим формулу разности косинусов
$2cos frac{ pi /2-x+2x}{2}*cos frac{pi/2-x-2x}{2} =0$
$2cos( frac{ pi }{4} + frac{x}{2} )*cos( frac{ pi }{4} - frac{3x}{2} )=0$
cos (pi/4 + x/2) = 0; pi/4 + x/2 = pi/2 + pi*k
x/2 = pi/2 - pi/4 + pi*k = pi/4 + pi*k
x1 = pi/2 + 2pi*k
cos (pi/4 - 3x/2) = cos(3x/2 - pi/4) = 0; 3x/2 - pi/4 = pi/2 + pi*n
3x/2 = pi/2 + pi/4 + pi*n = 3pi/4 + pi*n
x2 = pi/2 + 2pi*n/3

2) $2(sin^2(x)+sin(x)*cos(2x)+cos^2(2x))+ \ +2017(sin^4(x)+sin^3(x)cos(x)+sin^2(x)cos^2(x)+ \ +sin(x)cos^3(x)+cos^5(2x))=0$
Это уравнение корней не имеет.