Question

Известно, что уравнение
x^2+px+q=100
имеет два различных целых корня, причём p и q — простые числа.
Найдите наибольшее возможное значение q.

Answer 1

Уравнение $x^2+px+q=100$ имеет два различных корня, если дискриминант больше нуля.
Перепишем исходное уравнение в виде:
$x^2+px+(q-100)=0$

$D = p^2 -4*(q-100) textgreater 0 \ \ p^2 -4q+400 textgreater 0 \ \ 4q textless p^2+400 \ \ q textless ( frac{p}{2} )^2+100$

Т.к. числа p и q простые, то p д.б. чётным, чтобы q получилось целым. Но простое чётное число одно - 2. Значит:

$q textless ( frac{2}{2} )^2+100 \ \ q textless 101$

Ближайшее наибольшее простое число, удовлетворяющее последнему неравенству, q = 97.

Итак, p = 2; q = 97