Question

Помогите пожалуйста, нужно подробное решение

Answer 1

Найти сумму корней уравнения

$sqrt{3x^2-1}+sqrt{x^2-x+1}=sqrt{3x^2+2x+1}+sqrt{x^2+2x+4}$

Решение
ОДЗ уравнениия 3x² -1 ≥ 0 ⇔ x² ≥1/3. Следовательно х∈(-∞;-1/√3)U(1/√3;+∞)
Произведем замену переменных
x = t - 1
Тогда:
3x²-1 =3(t - 1)² - 1 = 3(t² - 2t + 1) - 1 = 3t² - 6t + 2
x² - x + 1 = (t - 1)² - (t - 1) + 1 = t² - 2t + 1 - t + 1 + 1 = t² - 3t + 3
3x² + 2x + 1 = 3(t - 1)² + 2(t - 1) + 1 = 3t² - 6t + 3 + 2t - 2 + 1 = 3t² - 4t + 2
x² + 2x + 4 = (t - 1)² + 2(t - 1) + 4 = t² - 2t + 1 + 2t - 2 + 4 = t² + 3
Поучили следующее уравнение
$sqrt{3t^2-6t+2}+sqrt{t^2-3t+3}=sqrt{3t^2-4t+2}+sqrt{t^2+3}$

Запишем уравнение в следующем виде
$sqrt{(3t^2+2)-6t}+sqrt{(t^2+3)-3t}=sqrt{(3t^2+2)-4t}+sqrt{t^2+3}$
Очевидно, что
при t>0:     3t² + 2 - 6t < 3t² + 2 - 4t
                               -2t < 0
                                  t > 0                 
                    t² + 3 - 3t <  t² + 3
                               -3t < 0
                                  t > 0
  при t<0:     3t² + 2 - 6t > 3t² + 2 - 4t
                               -2t > 0
                                  t < 0                
                    t² + 3 - 3t >  t² + 3
                               -3t > 0       
                                   t < 0
Следовательно при t>0 и при t<0 уравнение решений не имеет.
И только при t =0 уравнение имеет решение так как

$sqrt{(3*0+2)-6*0}+sqrt{(0+3)-3*0}=sqrt{(3*0+2)-4*0}+sqrt{0+3}$
$sqrt{2}+sqrt{3}=sqrt{2}+sqrt{3}$

Найдем значение переменной х
х = t - 1 = 0 - 1 =-1

Ответ: -1