Question

$frac{3}{(2-(x+1) sqrt{3} } + frac{(x+1) sqrt{3}-1 }{(x+1) sqrt{3}-3} geq 3$

Answer 1

(x+1)√3=a
3/(2-a)+(a-1)/(a-3)≥3
(a-1)/(a-3)-3/(a-2)-3≥0
(a²-2a-a+2-3a+9-3a²+15a-18)/(a-2)(a-3)≥0
(-2a²+9a-7)/(a-2)(a-3)≥0
(2a²-9a+7)/(a-2)(a-3)≤0
2a²-9a+7=0
D=81-56=25
a1=(9-5)/4=1 U a2=(9+5)/4=7/2
a-2=0⇒a=2
a-3=0⇒a=3
  +             _             +             _                     +
--------[1]----------(2)---------(3)-----------[7/2]---------
1≤a<2 U 3<a≤7/2
1≤(x+1)√3<2
1/√3≤x+1<2/√3 U √3<x+1≤7/2√3
1/√3-1≤x<2/√3 -1 U √3-1<x≤7/2√3 -1
x∈[(√3-3)/3;(2√3-3)/3) U (√3-1;(7√3-6)/6]