Question

Не понимаю как вычислить предел. Lim ln(1-3x^2)/((cosx^(1/7)-1) при x стремящемуся к нулю. Вверху эквивалентность, а внизу я не понимаю, что сделать (в знаменателе). Помогите, пожалуйста))

Answer 1

Неопределённость 0/0.
Будем брать производные от числителя и знаменателя. пока не избавимся от неопределённости.
1. Производная числителя:
(ln(1-3x²)`=(1-3x²)`/((1-3x²)=-6x/(1-3x²).
2. Производная знаменателя:
(cos(x)¹/⁷-1)`=(1/7)*cos(x)⁻⁶/⁷*(cos(x))`=sin(x)/(-cos⁶/⁷(x)/7).    ⇒
Получаем:
lim(x→0) (-6x/(1-3x²))/(sin(x)/(-cos⁶/⁷(x)/7))=
lim(x→0) (6x*7*cos⁶/⁷(x))/((1-3x²)*sin(x))=
=lim(x→0) (42*x*cos⁶/⁷(x))/((1-3x²)*sin(x)).
Подставляем   x=0:
(42*0*cos⁶/⁷(0))/((1-3*0²)*sin(0)=42*0/sin(0).
Неопределённость 0/0:   ⇒  берём вторую производную от числителя и знаменателя:
lim(x→0) (42*x)`/(sin(x))`=lim(x→0) (42/cos(x))=42/cos(0)=42/1=42.
Ответ: 42.