Question

Убедиться, что прямые L1: (x-1)/2=(y+2)/-3=(z-5)/4 и
L2: (x-7)/3=(y-2)/2=(z-1)/-2 принадлежат одной плоскости и написать уравнение этой плоскости

Answer 1

$l_1:; ; ; frac{x-1}{2}=frac{y+2}{-3}=frac{z-5}{4}; ; to ; ; ; vec{s}_1=(2,-3,4); ,; ; M_1(1,-2,5)\\l_2:; ; frac{x-7}{3}=frac{y-2}{2}=frac{z-1}{-2}; ; to ; ; ; vec{s}_2=(3,2,-2); ,; ; M_2(7,2,1)\\overline {M_1M_2}=(6,4,-4)$

Прямые  $l_1$  и  $l_2$  лежат в одной плоскости, если три вектора  $vec{s}_1; ,; ; vec{s}_2; ,; ; overline {M_1M_2}$  компланарны. Тогда смешанное произведение этих трёх векторов должно равняться  0 . Вычислим смешанное произведение:

$(vec{s}_1,; vec{s}_2,; overline {M_1M_2})=left|begin{array}{ccc}2&-3&4\3&2&-2\6&4&-4end{array}right|=left|begin{array}{ccc}2&-3&4\3&4&-2\0&0&0end{array}right|=0$

Нулевую строчку в определителе  получили умножив 2 строку на (-2) и прибавив к 3 строке.
Так как смешанное произведение = 0 , то прямые лежат в одной плоскости.
Чтобы составить уравнение этой плоскости можно найти её нормальный вектор как векторное произведение направляющих векторов (Можно было бы воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через 3 точки. Две точки мы знаем из уравнений прямых М1 и  М2, а третью можно определить, переведя уравнение какой-либо прямой в параметрический вид и придав значение параметру  t .) Найдём нормальный вектор плоскости $pi$  .

$[vec{s}_1times vec{s}_2]=left|begin{array}{ccc}i&j&k\2&-3&4\3&2&-2end{array}right| =i(6-8)-j(-4-12)+k(4+9)=\\\=-2vec{i}+16vec{j}+13vec{k}\\pi :; ; -2(x-1)+16(y+2)+13(z-5)=0\\-2x+16y+13z-31=0\\pi :; ; underline {2x-16y-13z+31=0}$

Answer 2

Спасибо)))