Question

Решите уравнение $x^2+3x+4* sqrt{x^2+3x-24}=36$

Answer 1

имеем уравнение: $mathtt{x^2+3x+4sqrt{x^2+3x-24}=36}$

решим уравнение относительно искусственно-введённой переменной: $mathtt{x^2+3x=a}$ (причём $mathtt{ageq24}$), тогда $mathtt{a+4sqrt{a-24}=36}$

оставим корень слева, перебросив всё лишнее вправо и возведя в квадрат обе части, потребовав неотрицательность неподкоренной части: 
$mathtt{4sqrt{a-24}=36-a;~left{{{(4sqrt{a-24})^2=(36-a)^2,}atop{36-ageq0;}}right}$

решим систему: 
$mathtt{left{{{16(a-24)=a^2-72a+6^4,}atop{24leq a leq36;}}rightleft{{{a^2-88a+1680=0,}atop{24leq a leq36;}}right}$

отдельно распишем решение уравнения: 
$mathtt{a^2-88a+1680=0;~D_4=(frac{-b}{2})^2-ac=44^2-1680=256=16^2;~}\mathtt{a_1=44+16=60~~u~~a_2=44-16=28}$

учитывая наши ограничения, нам подходит только второй корень; производим обратную замену: 
$mathtt{x^2+3x=28;~x^2+3x-28=0;~(x+7)(x-4)=0}$

ответ: $mathtt{x=-7;~4}$ (в порядке возрастания)

забавная штука, кстати:
мы решили уравнение $mathtt{x^2+3x-28=0}$ и выяснили, при каких значениях оно обращается в ноль. выражение под корнем (вместе с этим корнем, это важно!) можно представить слегка другим образом, например, вот так: $mathtt{sqrt{x^2+3x-28+4}}$. при наших найденных корнях этот значение корня всегда будет 2, потому что $mathtt{x^2+3x-28}$ при этих же значениях равно нулю, а если прибавить 4, то арифметический корень будет равен двум.