Question

{2{x}-a}+(a-3):{2{x}-a}=4 . { } - это обозначение корня. при каких значениях а уравнение имеет ровно два различных корня ? найдите все возможные значения а .

Answer 1

Пусть $sqrt{2sqrt{x}-a} =t(t > 0)$, тогда

$t+ frac{a-3}{t}=4~~~~|cdot tne 0\ \ t^2-4t+a-3=0$

Квадратное уравнение имеет два различных корня, если дискриминант больше нуля, то есть
$D=(-4)^2-4(a-3)=16-4(a-3)=4(7-a)$

И корни его - $t_{1,2}= dfrac{4pm2 sqrt{7-a} }{2} =2pmsqrt{7-a}$

Но эти корни могут не удовлетворять условию при t>0, значит

$2+sqrt{7-a} > 0$
Это неравенство выполняется для всех из ОДЗ: $a leq 7$

$2-sqrt{7-a} textgreater 0\ sqrt{7-a} textless 2;~~~~Rightarrow~~~~displaystyle left { {{7-a geq 0} atop {7-a textless 4}} right. ~~~Rightarrow~~~~~ left { {{a leq 7} atop {a textgreater 3}} right.$

И поскольку при а=7 уравнение имеет единственный корень, то ответом будет промежуток $a in (3;7)$

Answer 2

Thank you from my heart.