Question

Помогите решить. Нужно найти Z1+Z2; Z1-Z2; Z1×Z2; Z1÷Z2; и записать число Z1 в тригонометрической и показательной форме.
Z1=1+√3 i Z2=-i

Answer 1

$z1=1+ sqrt{3} i \ z2= -i$

Найдём тригонометрическую форму z1 по формулам:

$z = a+ib \ \ z = |z|(cos phi +i sin phi) \ \ |z| = sqrt{a^2+b^2} \ \ phi = arctg frac{b}{a}$

Т.к. в нашем примере a = 1 > 0, что указывает на первую четверть, то вышеприведённую формулу для нахождения угла используем без изменений. Иначе, пришлось бы добавлять или отнимать от вычисленного угла 180° (или π).

Итак, у нас $z1=1+ sqrt{3} i$, a = 1; $b =sqrt{3}$.
Вычисляем модуль:
$|z1| = sqrt{1^2 +( sqrt{3})^2 } =2$
Вычисляем угол:
$phi = arctg frac{ sqrt{3} }{1} = frac{ pi }{3}$
Записываем в тригонометрической форме:
$z1 = 2(cos frac{ pi }{3} +i sin frac{ pi }{3})$

Показательная форма имеет вид:
$z = |z| e^{i phi}$
У нас всё уже вычислено, подставляем:
$z1 = 2 e^{ i frac{pi }{3}}$

$z1 + z2 = 1+ sqrt{3} i + (-i) = 1+ ( sqrt{3}-1) i \ \ z1 - z2 =1+ sqrt{3} i -( -i) = 1+( sqrt{3}+1) i \ \ z1 * z2 = (1+ sqrt{3} i) * ( -i) = -i - sqrt{3} i^2 = sqrt{3} -i \ \ frac{z1}{z2} = frac{1+ sqrt{3} i}{-i} = frac{1+ sqrt{3} i}{-i} frac{i}{i} = frac{i+ sqrt{3}i^2 }{-i^2} = frac{- sqrt{3}+i }{-(-1)} = - sqrt{3}+i$