Question

Помогите пожалуйста!!! Даю 25 баллов! Решите 3 задания!

Answer 1

1)  Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB} = (-5; 5; 8).
IBD| (длина) = √(25+25+64) = √114 ≈ 10,67707825.

2) Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} = (3; 1; 4).
 |BC| = √(9+1+16) = √26 ≈ 5,099019514.
cos(BD∧BC) = |-5*3+5*1+8*4|/(√114*√26) =  22/54,44263 ≈  0,404095.

3) S(DBC) = (1/2)|DD|*|BC|*sin(BD∧BC).
Синус угла равен √(1-cos²α) = √(1-0,404095²) =  0,914717.
S(DBC) = (1/2)*(√114*√26)*0,914717 ≈  24,8998.
Эту же площадь можно получить как векторное произведение.
Произведение векторов a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
S(DBC) = (1/2) [BC x BD]= (1/2)√((-12)²+44²+20²) =(1/2)√ 2480 ≈ 24,8998.

4) Объём V.
Объем пирамиды равен:  (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3 .
AB*AC = (-6; -34; 13)
V = (1/6)*|-1*(-6)+2*(-34)+2*13| = (1/6)*36 = 6 куб ед.

5) Уравнение АС.
 x+3         y-1        z-3
------   =   ------  =  -----
4+3         -1-1       1-3

x+3           y-1        z-3
------   =   ------  =  -----
   7           -2          -2       Это каноническое уравнение.

Уравнение прямой в векторном виде: r = r0 + a · t ,
где r0 - радиус-вектор известной фиксированной точки, лежащей на прямой;
в нашем случае в качестве r0 мы можем взять как радиус-вектор (-3; 1; 3) точки A, так и радиус-вектор (4; -1; 1) точки С;
a - направляющий вектор прямой, 
a = (xС - xA; yС - yA; zС - zA) = (4 - (-3); -1 - (1); 1 - (3)) = (7; -2; -2);
t - параметр на прямой, для каждого значения параметра t мы будем получать новую точку на нашей прямой.

Параметрическое уравнение прямой:
x = -3 + (7) · t , 
y = 1 + (-2) · t ,
z = 3 + (-2) · t .

6)  Уравнение плоскости ABD (то есть по трём точкам).
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, находим из выражения:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, получаем:

(x - (-3))(-3·2-(-6)·2) - (y - 1)(4·2-(-6)·(-1)) + (z - 3)(4·2-(-3)·(-1)) = 0.

6(x - (-3)) + (-2)(y - 1) + 5(z - 3) = 0.

6x - 2y + 5z + 5 = 0.

7) Угол между ребром АС и гранью ABD.

Уравнение плоскости ABD: 6x - 2y + 5z + 5 = 0.
Уравнение прямой AC:  (x+3)/7 = (y-1)/(-2) = (z-3)/(-2).

Находим синус угла:

sin α = |6*7+(-2)*(-2)+5*(-2)|/(√(6²+2²+5²)*√(7²+2²+2²)) =

         = 36/(√65*√57) = 36/(8,062258*7,549834 ) =

          = 36/60,86871 ≈ 0,591437.

Этому синусу соответствует угол 0,63284 радиан или 36,25904°.

8) Уравнение высоты из вершины С на грань ABD.

Составим уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С(4; –1; 1) на плоскость ABD: 6x - 2y + 5z + 5 = 0:

(x-4)/6 = (y+1)/(-2) = (z-1)/5.

9) Чертёж уже надо самому сделать по координатам точек.

Answer 2

Спасибо вам большое!!!