Question

Заданы уравнения сторон треугольника 7х+6у+16=0; 2х+9у-10=0; 5х-3у-25=0. Найти координаты точки пересечения высот                                                                     Помогите(((

Answer 1

Обозначим стороны треугольника следующим образом
$AB: 7x+6y+16=0 \ BC: 2x+9y-10=0 \ AC: 5x-3y-25=0$
Найдем вершины треугольника ABC, решив три системы уравнений
$A: left { {{7x+6y+16=0} atop {5x-3y-25=0}} right \ \ B: left { {{7x+6y+16=0} atop {2x+9y-10=0}} right \ \ C: left { {{2x+9y-10=0} atop {5x-3y-25=0}} right$
Получим $A(2;-5), B(-4;2), C(5;0)$
Представим сторону $BC$ как уравнение с угловым коэффициентом:
$BC: 2x+9y-10=0 Rightarrow y = - frac{2}{9} x + frac{10}{9}$
Тогда её угловой коэффициент $k_1 = - frac{2}{9}$
Из условия перпендикулярности двух прямых $left (k_1 cdot k_2 = -1 right)$ найдем $k_2$ – угловой коэффициент прямой, содержащей высоту $AP$:
$k_2 = - frac{1}{k_1} = frac{9}{2}$
Уравнение прямой $AP$ найдем по точке $A(2;-5)$ и угловому коэффициенту $k_2$:
$y+5 = frac{9}{2} x-2 Rightarrow y = frac{9}{2} x-14$
Представим сторону $AC$ как уравнение с угловым коэффициентом:
$AC: 5x-3y-25=0 Rightarrow y = frac{5}{3} x- frac{25}{3} Rightarrow k_3 = frac{5}{3}$
Если $k_4$ – угловой коэффициент прямой, содержащей высоту $BQ$, то
$k_4 = - frac{1}{k_3} = - frac{3}{5}$
Уравнение прямой $BQ$ найдем по точке $B(-4;2)$ и угловому коэффициенту $k_4$:
$y-2 = -frac{3}{5} (x+4) Rightarrow y = -frac{3}{5} x - frac{2}{5}$
Координаты точки пересечения высот $H(x;y)$ найдем, решив систему уравнений, задающих прямые $AP$ и $BQ$:
$left { {{y = frac{9}{2} x-14} atop {y = -frac{3}{5} x - frac{2}{5}}} right$
Получим $H left( frac{136}{51} ; -2 right)$