Question

Нарисуйте треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки со стороной 1, у которого все стороны длиннее 4, а площадь меньше 1.

Answer 1

В данном треугольнике каждая сторона больше 4, что можно доказать теоремой Пифагора (если рассматривать прямоугольные треугольники, где сторона начерченного является гипотенузой. Один из катетов везде больше или равен 4, другой - больше или равен 1, значит, гипотенуза больше большего, скажем так).

Разберёмся с площадью.
Площадь треугольника находится по формуле $S= frac{ah}{2}$, отсюда: $frac{ah}{2} textless 1 rightarrow ah textless 2 rightarrow h textless frac{2}{a}$
Пусть h - высота, проведённая к большей стороне, a - большая сторона. По теореме Пифагора она равна $sqrt{9^2+2^2}= sqrt{81+4}= sqrt{85}approx9$. Тогда $h textless frac{2}{9}$
Рассмотрим треугольник в системе координат с точкой, лежащей против большей стороны, в начале координат. Найдём уравнение прямой, на которой лежит большая сторона (y=kx+b). $k=tgalpha= frac{2}{9}$, $b=y-kx=1- frac{2}{9} * 4=1- frac{8}{9} = frac{1}{9}$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник из высоты и стороны на Oy, равной b. Действительно, если точка лежит на оси Oy, то её координата по x = 0, а значит, её координата y = k * 0 + b = b. В данном случае сторона на Oy будет гипотенузой, а высота - катетом. Следовательно, она меньше гипотенузы. Т. е. $h textless frac{1}{9} textless frac{2}{sqrt{85}} }$ (доказательство того, что $frac{1}{9} textless frac{2}{ sqrt{85} }$, могу провести в комментариях, если потребуется), значит, $h textless frac{2}{a} rightarrow ah textless 2rightarrow frac{ah}{2} textless 1rightarrow S textless 1$. Начерченный треугольник удовлетворяет всем условиям.