Question

Найдите формулу n -го члена последовательности, заданной
рекуррентно

Answer 1

если последовательности задана рекуррентным соотношением вида:
$x_1=a \x_{n+1}=bx_{n}+c, b neq 1$
тогда справедлива следующая формула:
$x_{n}=(a- frac{c}{1-b} )*b^{n-1}+ frac{c}{1-b}$
в данной задаче:
$a=0,5 \b=4 \c=- frac{3}{4} =-0,75 \x_n= (0,5- frac{-0,75}{1-4} )*4^{n-1}+ frac{-0,75}{1-4} =(0,5-0,25)*4^{n-1}+0.25=\=0,25*4^{n-1}+0,25=4^{-1}*4^{n-1}+0,25=4^{n-2}+ frac{1}{4}$
Ответ: $x_n=4^{n-2}+ frac{1}{4}$