Question

Найти область степенного ряда
10^n*(x-2)^n

Answer 1

Радиус сходимости по признаку Даламбера: $R= dfrac{10^n}{10^{n+1}}= dfrac{1}{10}$

Ряд будет сходящимся, если $|x-2| textless dfrac{1}{10}$

                                              $-dfrac{1}{10} textless x-2 textless dfrac{1}{10} \ \ \ dfrac{19}{10} textless x textless dfrac{21}{10}$

Т.е. будет сходящимся при $x in bigg(dfrac{19}{10} ;dfrac{21}{10} bigg)$

Исследуем теперь ряд на концах искомого интервала.

Если $x=dfrac{19}{10}$, получаем $displaystyle sum^{infty}_{n=1}(-1)^n$ - расходящийся ряд.

Если $x=dfrac{21}{10}$, то $displaystyle sum^{infty}_{n=1}1$ - расходится.

ОТВЕТ: ряд является сходящимся при $x in bigg(dfrac{19}{10} ;dfrac{21}{10} bigg)$