Question

Найти все вещественные корни при всех ненулевых вещественных значениях параметров:
$4x^3 - 12ax^2 + ( 9a^2 + b^2 ) x - 2a ( a^2 + b^2 ) = 0 ;$

Answer 1

$4x^3 - 12ax^2 + (9a^2 + b^2)x - 2a(a^2 + b^2) = 0\ 4x^3 - 12ax^2 + 8a^2 x + (a^2 + b^2)x-2a(a^2+b^2)=0\ 4x(x^2-3ax+2a^2)+(x-2a)(a^2+b^2)=0\ 4x(x-a)(x-2a)+(x-2a)(a^2+b^2)=0\ (x-2a)(4x^2-4ax+a^2+b^2)=0\ (x-2a)((2x-a)^2+b^2)=0$

Первая скобка обнуляется при x = 2a, вторая не имеет вещественных корней при b ≠ 0.

Ответ. x = 2a.