Question

Из шести стержней длины 2 склеили треугольную пирамиду. На рёбра пирамиды сели три мухи. Оказалось, что расстояние между каждыми двумя из этих мух (измеряемое кратчайшим путем по рёбрам пирамиды) не меньше $R$. При каком наибольшем $R$ такое возможно?  

Answer 1

Пусть R > 4, тогда никакие две мухи не сидят на одном ребре. Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, из трёх рёбер какие-то два лежат в одной грани (в противном случае граней должно быть не меньше 2 * 3 = 6, а их всего 4. Рассмотрим пути между мухами, которые сидят в этой грани.

Эта грань — треугольник с периметром P = 3 * 4 = 12. Между мухами, сидящими в этой грани, есть два пути (см. рисунок, красный и зелёный), суммарная длина которых равна 12. Значит, кратчайший путь не длиннее 12/2 = 6.