Question

В правильной трёхугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM-биссектриса угла SAC. Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна 25 корень 3. Найдите сторону основания

Answer 1

Нужное сечение — треугольник AMB.

Рассмотрим треугольник ASC. Он равнобедренный, и угол SAC = углу SCA = 72°  Значит, угол МАС = 36° 

Рассмотрим теперь треугольник CAM. Сумма его углов 180°, значит, угол АМС = 72°. Следовательно, треугольник CAM равнобедренный, и поэтому AC=AM. Аналогично находим, что BM=BC.

Таким образом, треугольник AMB равносторонний, и его сторона AB одновременно является стороной основания. По условию составим уравнение  AB^2 (корень из 3) / 4 = 5 корень из 3откуда AB = корень из 20.