Question

1)$frac{x^4+1}{x^2+x sqrt{2} +1}$
2)$frac{9+ 3sqrt{3} }{9+ sqrt{243} }$
Сократите дробь

Answer 1

1.
1) Преобразуем числитель х⁴+1.
Выделим квадрат суммы:
a² + 2ab + b² = (a+b)²
Далее разложим на множители, применив формулу разности квадратов:
a² - b² = (a-b)(a+b)

х⁴+1=(х⁴+2х²+1)-2х²=
=  (х²+1)-2х² = (x²+1-x√2)(x²+1+x√2)
2)А теперь сократим дробь:
   
$frac{ x^{4} +1}{ x^{2} +x sqrt{2}+1 } = frac{( x^{2} -x sqrt{2}+1)( x^{2} +x sqrt{2} +1) }{ x^{2} +x sqrt{2} +1} = x^{2} -x sqrt{2} +1$

2.
$frac{9+3 sqrt{3} }{9+ sqrt{243} } = frac{9+ 3sqrt{3} }{9+ sqrt{81*3} } = frac{9+3 sqrt{3} }{9+9 sqrt{3} } = frac{3(3+ sqrt{3} )}{9(1+ sqrt{3} )} = frac{(3+ sqrt{3} )*(1- sqrt{3} )}{3(1+ sqrt{3} )(1- sqrt{3} )} = frac{3+ sqrt{3} -3 sqrt{3} -3}{3*(1-3)}$$= frac{-2 sqrt{3} }{3*(-2)} = frac{ sqrt{3} }{3}$