Question

Помогите решить задачу из теории вероятностей?.
Предприятие приобрело электронный прибор. Время безотказной работы подобных
приборов случайно и имеет показательное распределение. Среднее время безотказной работы
приборов данного типа и данного производителя равно 8 тысяч часов непрерывной работы.
Какова вероятность того, что данный прибор проработает безотказно не менее среднего
времени безотказной работы? Какой гарантийный срок следует установить производителю,
чтобы ожидаемый процент приборов, не выдержавших срок гарантии, не превышал 5%?

Answer 1

t — время безотказной работы, τ = 8000 часов — среднее время безотказной работы.

Функция распределения показательного распределения случайной величины t со средним значением τ:
$F(t)=begin{cases}1-e^{-t/tau},&tgeqslant 0\0,&t textless 0end{cases}$

Вероятность того, что случайная величина примет значения, не меньшие τ:
$P(tleqslanttau)=F(tau)=1-e^{-tau/tau}=1-e^{-1}approx0.632$

Пусть гарантийное время работы равно τ', нужно, чтобы вероятность того, что t меньше τ', была не больше 0,05:
$P(tleqslanttau')=F(tau')=1-e^{-tau'/tau}leqslant0.05\ e^{-tau'/tau}geqslant0.95\ dfrac{tau'}tauleqslant-ln 0.95\ tau'leqslant0.0513tau$
Гарантийный срок должен быть не больше 8 000 * 0,0513 ≈ 410 часов