Question

Дано натуральное число А. Число В получено из числа А путем произвольной перестановки его цифр. Доказать что разность этих чисел кратна 3.

Answer 1

Пусть некоторое число представляется в виде 
$overline{a_na_{n-1}dots a_2a_1a_0}=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+dots 10^2a_2+10^1a_1+10^0a_0$

Вычтем из него его сумму чисел, получится 
$(10^n-1)a_n+(10^{n-1}-1)a_{n-1}+dots (10^2-1)a_2+(10^1-1)a_1$

Каждая скобка вида $10^k-1$ равна 999...99 (k девяток), поэтому каждое слагаемое делится на 9, а значит, и вся сумма делится на 9. Поэтоиу сумма цифр числа и само число дают одинаковые остатки при делении на 3.

У чисел A и B одинаковые суммы цифр, значит, они дают одинаковые остатки при делении на 9, тогда A - B делится на 9, и тем более делится на 3.