Question

Провести полное исследование функции

Answer 1

1) область определения
$D(y)=x in (-infty;8)U(8;+infty)$
2) периодичность, четность/нечетность
функция не периодичная
$f(-x)= -frac{3}{-x-8} = frac{3}{x+8}$ - функция общего вида
3) точки пересечения с осями координат
$x=0; y=- frac{3}{0-8} = frac{3}{8} =0,375 \(0;3,75)$
4) у функции 2 асимптоты: x=8 и y=0
5) промежутки возрастания/убывание, монотонность, критические точки
берем производную:
$y'= -frac{0*(x-8)-3*1}{(x-8)^2} =frac{3}{(x-8)^2}$
производная не имеет корней => у функции нет критических точек
производная всегда положительна => функция возрастает на всей области определения.
7) точки перегиба функции
возьмем 2 производную:
$y''= frac{0*(x-8)^2-3*2(x-8)}{(x-8)^4} = -frac{6}{(x-8)^3}$
2 производная не имеет корней  => точек перегиба нет
8) строим график
найдем дополнительные точки:
x=5; y=1 (5;1)
x=7; y=3 (7;3)
графиком будет гипербола.

график в приложении.