Question

В правильной четырёхугольной призме проведено сечение через диагональ нижнего основания и конец непараллельной ей диагонали верхнего основания. Площадь основания призмы и площадь сечения равны 20. Найдите объём призмы.

Answer 1

Основание правильной четырехугольной призмы - квадрат.
Sосн = AB² = 20
AB = √20 = 2√5

AC = AB√2 как диагональ квадрата.
AC = 2√5 · √2 = 2√10

D₁A = D₁C как диагонали равных боковых граней (призма правильная),
O - середина АС, значит
D₁O - медиана и высота ΔD₁AC.
Sd₁ac = 1/2 · AC · D₁O
1/2 · 2√10 · D₁O = 20
√10 · D₁O = 20
D₁O = 20/√10 = 2√10

OD = BD/2 = AC/2 = √10

ΔDD₁O: по теореме Пифагора
             DD₁ = √(D₁O² - OD²) = √(40 - 10) = √30

V = Sосн · DD₁ = 20 · √30 = 20√30