Question

исследовать функцию и построить график. f(x)=x^3-3x^2+4

Answer 1

f(x) = x³ - 3x² + 4

1) Область определения  D(f) = R. Функция непрерывна.

2) Пересечение с осью  OY :     x = 0;  y = 4

3) Нули функции  x³ - 3x² + 4 = 0   ⇔

   x³ - 4x² + x² +4x - 4x + 4 = 0   ⇔  

   x²(x+1) - 4x(x+1) + 4(x+1) = 0  ⇔

   (x² - 4x + 4)(x+1) = 0   ⇔   (x - 2)²(x + 1) = 0

   x₁ = -1;  x₂ = 2    -   нули функции.

4) Интервалы знакопостоянства:

  y < 0   при   x ∈ (-∞; -1)

  y > 0  при   x ∈ (-1; 2) ∪ (2; +∞)

5) Производные функции

   f'(x) = (x³ - 3x² + 4)' = 3x² - 6x

  f"(x) = (3x² - 6x)' = 6x - 6 = 6(x - 1)

6) Экстремумы функции

   3x² - 6x = 0    ⇔   3x (x - 2) = 0  ⇒    x₃ = 0;  x₄ = 2

   f"(x₃) = f"(0) = 6(0 - 1) = -6 < 0  ⇒    x₃ = 0  -  точка максимума

   f"(x₄) = f"(2) = 6(2 - 1) = 6 > 0   ⇒    x₄ = 2  -  точка минимума

   f"(x) = 0    ⇔   6(x - 1) = 0   ⇒    x₅ = 1  -  точка перегиба

7) x ∈ (-∞; 0] ∪ [2; +∞)  - функция возрастает

   x ∈ [0; 2]  -  функция убывает

   x ∈ (-∞; 1)  -  функция выпуклая вверх

   x ∈ (1; +∞)  -  функция выпуклая вниз

8) f (-x) = (-x)³ - 3(-x)² + 4 = -x³ - 3x² + 4 ≠ f(x) ≠ -f(x)

   Функция не является чётной, не является нечётной.

   Функция не является периодической.

9) Область значений  E(f) = R

10) f(x₃) = f(0) = x³ - 3x² + 4 = 4 - значение функции в точке максимума

   f(x₄) = f(2) = 2³ - 3·2² + 4 = 0 - значение функции в точке минимума

   f(x₅) = f(1) = 1³ - 3·1² + 4 = 2 - значение функции в точке перегиба

11) График функции в приложении.