Предмет: Алгебра, автор: drart77

найти период функции y=cos(sin(x))

Ответы

Автор ответа: nelle987
0
Нужно найти такое наименьшее положительное T, чтобы при любом x выполнялось равенство cossin x=cossin(x+T).

Переносим всё в одну часть и раскладываем по формуле разности косинусов:
cossin x-cossin(x+T)=0\
2sinleft(dfrac{sin(x+T)+sin x}2right)sinleft(dfrac{sin(x+T)-sin x}2right)=0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один сомножитель равен нулю:
left[begin{array}{l}sinleft(dfrac{sin(x+T)+sin x}2right)=0\sinleft(dfrac{sin(x+T)-sin x}2right)=0end{array}right.
left[begin{array}{l}sin(x+T)+sin x=2pi n,nin mathbb Z\sin(x+T)-sin x=2pi k,kinmathbb Zend{array}right.

Синус принимает значения в промежутке [-1, 1], значит сумма и разность синусов по модулю не превосходят 2. Значит, в полученном выше решении n = k = 0. Раскладываем сумму и разность синусов:
left[begin{array}{l}sin(x+T)+sin x=0\sin(x+T)-sin x=0end{array}right.left[begin{array}{l}2sindfrac{2x+T}2cosdfrac T2=0\2sindfrac T2cosdfrac{2x+T}2=0end{array}right.

Совокупность этих двух равенств можно обратно заменить на произведение, затем пользуемся формулой синуса двойного аргумента.
2sindfrac{2x+T}2cosdfrac T2cdot2sindfrac T2cosdfrac{2x+T}2=0\
2sindfrac{2x+T}2cosdfrac{2x+T}2cdot2sindfrac T2cosdfrac T2=0\
sin(2x+T)sin T=0

sin(2x + T) вообще говоря не равно нулю. Чтобы равенство выполнялось при всех x, sin T должен быть равен нулю, откуда T = πs, s ∈ Z. Нас интересует наименьший положительный период, это T = π.

Ответ. π
Автор ответа: Simba2017
0
большое вам спасибо, приятное завершение этого года )))
Похожие вопросы